Maen prawf Kelly a rwlét
Mae maen prawf Kelly yn dweud wrth fetiwr sydd â mantais faint i'w stancio. Ar gyfer rwlét mae'n rhoi ateb clir: dim byd.
Stanc Kelly = mantais / ods. Gyda mantais negyddol mae'r fformiwla'n rhoi ffracsiwn negyddol, sy'n golygu: peidiwch â betio. Mae'r maen prawf yn dal yn ddefnyddiol er mwyn deall pam roedd chwaraewyr tuedd yn pennu maint eu betiau fel y gwnaethant, a pham y dylai pawb arall bennu'r maint yn ôl cyllideb.
Y maen prawf
Gofynnodd John Kelly (1956) sut y dylai gamblwr sydd â mantais hysbys bennu maint ei fetiau er mwyn sicrhau'r twf mwyaf yn y tymor hir i'r gronfa chwaraearianCronfa chwaraeY cyfanswm a neilltuwyd ar gyfer chwarae. Rheoli'r gronfa chwarae yw penderfynu faint ohoni i'w fentro ar bob bet ac ym mhob sesiwn.Darllen y cyfan →. Yr ateb, ar gyfer bet sy'n talu b i 1 gyda thebygolrwyddmathemategTebygolrwyddSiawns canlyniad, o 0 i 1 neu o 0% i 100%. Un rhif: 1/37 = 2.70%.Darllen y cyfan → ennill p a thebygolrwydd colli q = 1 − p, yw stancio'r ffracsiwn f* = (bp − q) / b o'r gronfa. Mae f* positif yn golygu betio'r ffracsiwn hwnnw; mae sero neu werth negyddol yn golygu peidio â betio. Roedd Kelly yn gweithio yn Bell Labs, ac fe osododd ei bapur, ‘A new interpretation of information rate’, y broblem o fewn theori gwybodaeth Claude Shannon: gall gamblwr sy'n cael cynghorion dros linell swnllyd, ar ods teg, dyfu'r gronfa ar y gorau ar y gyfradd y mae'r llinell yn cludo gwybodaeth. Yn 1961 profodd Leo Breiman fod betio Kelly, yn y tymor hir, yn gorffen ar y blaen i unrhyw strategaeth sy'n sylfaenol wahanol, a'i fod yn cyrraedd nod penodol mewn bron yr amser byrraf posibl.
Betio Kelly mewn rwlét
Ar gyfer cochbetCochBet ods cyfartal ar y 18 o rifau coch. Ffrangeg: rouge.Darllen y cyfan →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Ar gyfer rhif senglbetRhif senglUn rhif, yn talu 35:1.Darllen y cyfan →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Mae pob bet safonol yn rhoi ffracsiwn Kelly negyddol, am fod gan bob bet fantais negyddol, a'r stanc sy'n rhoi'r twf gorau yw sero. Ffordd ffurfiol o ddweud yr hyn y mae'r dudalen ar fantais y tŷ yn ei ddweud yw betio Kelly ar rwlét: does dim maint lle mae bet â disgwyliad negyddol yn tyfu cronfa chwarae.
Lle roedd Kelly yn berthnasol
Roedd gan chwaraewyr tuedd fantais a phroblem pennu maint y betiau. Bu'n rhaid i Jagger, y teulu García-Pelayo a'r Eudaemons i gyd benderfynu faint i'w fetio ar y fantais a fesurwyd ganddynt: mae betio rhy ychydig yn gwastraffu'r fantais, tra bo betio gormod yn peryglu methdaliad cyn i'r fantais ddangos ei hun. Ar gyfer pocedofferPocedUn o'r 37 o adrannau wedi'u rhifo ar y rotor. Hefyd: slot, cwpan.Darllen y cyfan → sy'n dod i fyny 1 mewn 30, mae Kelly yn dweud 0.57% o'r gronfa bob troelliad ar y rhif hwnnw: gyda $10,000, tua $57 y troelliad, am dwf nodweddiadol o tua 0.054% y troelliad, neu ×1.7 dros 1,000 o droelliadau. Mae'r cynnydd cyfartalog ddwywaith hynny, 0.11% y troelliad, ond mae Kelly yn anelu at y gronfa nodweddiadol, nid y gronfa gyfartalog, y mae ambell rediad lwcus yn ei chwyddo. Hanner Kelly yw'r dewis ymarferol arferol am fod yr amcangyfrif o'r fantais yn ansicr.
Nodweddiadol a chyfartalog
Mae'r bwlch rhwng y gronfa nodweddiadol a'r un gyfartalog yn llydan. Cymerwch boced sy'n dod i fyny 1 mewn 25, mantais o 44%, y ffigur y mae Thorp yn ei roi ar gyfer ei ddyfais. Mae Kelly yn stancio 1.26% o'r gronfa arni. Ar ôl 1,000 o droelliadau mae'r gronfa nodweddiadol wedi tyfu tua 11.5 gwaith, tra bo'r gyfartalog, wedi'i thynnu i fyny gan ambell rediad lwcus iawn, wedi tyfu tua 249 gwaith. Mae betio mwy na Kelly yn codi'r cyfartaledd ac yn gostwng y canlyniad nodweddiadol: ar ddwywaith stanc Kelly dim ond dyblu y mae'r gronfa nodweddiadol, ac ar ddwywaith a hanner stanc Kelly mae'n crebachu, er bod pob bet yn dal i gario mantais o 44%. Prin yw cost betio llai: mae hanner y stanc yn cadw tua thri chwarter y twf.
Pan mai dyfaliad yw'r fantais
Mae Kelly yn rhagdybio bod y fantais yn hysbys. Wrth y bwrdd amcangyfrif ydyw, ac mae'r amcangyfrif fel arfer yn rhy uchel. Enghraifft Epstein, wedi'i seilio ar 44% Thorp, yw rhif a ddaeth i fyny 49 o weithiau mewn 1,225 o droelliadau ar olwyn dau seroolwynSeroYr un boced werdd nad yw'r un fet ods cyfartal, dwsin na cholofn yn ei chwmpasu; ffynhonnell mantais y tŷ. Hefyd: sero sengl, 0.Darllen y cyfan →: 1 mewn 25, mantais o 44%, stanc Kelly o 1.26%. Ond mae gan olwyn dau sero deg 38 o rifau, ac mae'r prysuraf ohonynt yn cyrraedd 49 neu fwy mewn 1,225 o droelliadau tua unwaith mewn naw. Y rhif prysuraf mewn unrhyw gofnod hefyd yw'r un y mae lwc wedi'i helpu fwyaf, felly mae hyd yn oed poced â gwir duedd yn edrych yn well yn y cofnod nag ydyw: melltith yr enillydd. Os yw'r boced honno mewn gwirionedd heb duedd, dim ond bet sy'n colli 5.26% ar gyfartaledd yw stanc Kelly. Yr atebion arferol yw betio ffracsiwn o Kelly a dal ati i gyfrif nes bod y fantais yn goroesi cofnod newydd (gweler Sut i ganfod tuedd mewn olwyn rwlét).
Pobl â mantais
Nid yr un peth yw gwybod y fantais a'i defnyddio'n dda. Rhoddodd Haghani a Dewey (2016) $25 yr un i 61 o bobl i fetio am hanner awr ar geiniog y dywedwyd wrthynt ei bod yn glanio â'i phen i fyny 60% o'r amser, gydag uchafswm o $250 ar yr enillion (dim ond wrth ei gyrraedd y clywodd y chwaraewyr am yr uchafswm). Mae Kelly yn dweud y dylid betio 20% o'r gronfa ar y pen bob tro, ac mae'r awduron yn amcangyfrif y byddai betiau cyson o 10–20% yn cyrraedd yr uchafswm tua 95% o'r amser. Dim ond 21% o'r chwaraewyr a gyrhaeddodd. Aeth 28% yn fethdal, betiodd 18 o'r 61 y cyfan ar un tafliad, gorffennodd tua thraean yn is na'r $25 a gawsant ar y dechrau, a'r taliadarianTaliadYr hyn y mae bet fuddugol yn ei dalu yn ôl, wedi'i fynegi fel ‘X i 1’ ar ben y stanc a ddychwelir.Darllen y cyfan → cyfartalog oedd $91. Dim ond pump o'r 61 oedd wedi clywed am faen prawf Kelly. Gyda mantais, maint y betiau sy'n penderfynu a ydych chi'n ei chadw; hebddi, fel wrth olwyn deg, does dim maint yn helpu.
Beth i'w ddefnyddio yn lle hynny
Heb fantais, cwestiwn cyllideb yw maint y bet, nid cwestiwn twf: stanc = yr hyn rydych chi'n fodlon ei wario fesul troelliad, wedi'i gyfrifo o'r gyllideb yr awr a chyflymder y bwrdd (y dudalen ar reoli'r gronfa chwarae). Cyfraniad Kelly i'r chwaraewr cyffredin yw eglurder ei ateb: sero. Mae popeth rydych chi'n ei stancio uwchlaw sero yn bris chwarae, wedi'i ddewis gennych chi, nid wedi'i optimeiddio gan unrhyw fformiwla.
Nodyn ar Kelly ffracsiynol a ‘rheoli arian’
Betio gwastadstrategaethBetio gwastadBetio'r un swm bob troelliad. Y llinell sylfaen y cymherir pob dilyniant â hi.Darllen y cyfan → gyda stanc sy'n crebachu yw'r systemau a werthir fel ‘Kelly ar gyfer rwlét’ sy'n argymell canran sefydlog o'r gronfa ar bob bet. Maen nhw'n colli 2.70% o'r trosiantarianTrosiantCyfanswm y betio dros sesiwn neu gyfnod, gan gyfrif enillion a ailfetiwyd. Hefyd: handle, action.Darllen y cyfan → ac, am fod y stanc yn crebachu wrth i chi golli, maen nhw'n gwneud methdaliad yn araf yn hytrach nag yn annhebygol. Mae'n ffordd resymol o wneud i gyllideb bara; nid Kelly mohono, gan y byddai Kelly yn dweud wrthych am roi'r gorau iddi.
Fformiwla
Cwestiynau
Dim ond gyda mantais a fesurwyd ar olwyn dueddlabordyOlwyn dueddOlwyn y mae namau ffisegol yn gwneud rhai pocedi'n fwy tebygol na 1/37. Prin, a dim ond miloedd o droelliadau wedi'u cofnodi sy'n gallu ei chanfod.Darllen y cyfan → neu gyda dyfais amseru. Nid ar olwyn deg.
Am fod gwall yn yr amcangyfrif o'r fantais, ac mae betio gormod yn costio mwy na betio rhy ychydig. Mae hanner Kelly yn rhoi tri chwarter y twf am chwarter yr amrywiantmathemategAmrywiantMesur o ba mor eang y mae canlyniadau'n lledaenu o amgylch y gwerth disgwyliedig. Uchel ar gyfer rhif sengl, isel ar gyfer betiau ods cyfartal.Darllen y cyfan →.
Nage. Mae Kelly yn optimeiddio twf pan fo mantais. Mae rheoli'r gronfa chwarae yn rheoli gwariant pan nad oes un.
Hwyl gyda mathemateg
Rhowch gynnig arnyn nhw eich hun yn gyntaf. Mae pob datrysiad wedi'i blygu; agorwch ef pan fyddwch yn barod.
Roedd dyfais ragfynegi Thorp a Shannon yn rhoi mantais o tua 44%. Ar un rhif a ragfynegwyd, mae Kelly yn dweud y dylid betio 1.26% o'r gronfa chwaraearianCronfa chwaraeY cyfanswm a neilltuwyd ar gyfer chwarae. Rheoli'r gronfa chwarae yw penderfynu faint ohoni i'w fentro ar bob bet ac ym mhob sesiwn.Darllen y cyfan →. Beth os deuai'r un fantais o 44% ar un bet wedi'i gwasgaru dros bum rhif cyfagos?
Dangos y datrysiad
Ateb Mae Kelly wedyn yn dweud 7.1% o'r gronfa, ac mae'r gronfa'n tyfu bron chwe gwaith mor gyflym: mae'n lluosi tua 1.25 miliwn gwaith dros 1,000 o fetiau, yn erbyn tua 11.5 gwaith.
Mae rhif senglbetRhif senglUn rhif, yn talu 35:1.Darllen y cyfan → â mantais o 44% yn ennill gyda thebygolrwydd 0.04, gan fod 36 × 0.04 = 1.44. Stanc Kelly yw'r fantais wedi'i rhannu â'r ods: 0.44/35 = 1.26%. Y twf nodweddiadol fesul bet yw 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244, felly mae 1,000 o fetiau'n lluosi'r gronfa â thua e^2.44 ≈ 11.5.
Gwasgarwch un stanc dros bum rhif ac mae'r fet yn ennill gyda thebygolrwydd 0.20 ac yn talu 36/5 am 1, sef 6.2 i 1: mantais o 44% o hyd, gan fod 0.2 × 7.2 = 1.44. Daw stanc Kelly yn 0.44/6.2 = 7.10%, a'r twf fesul bet yn 0.01404, tua 5.75 gwaith cymaint. Dros 1,000 o fetiau mae hynny'n e^14.04, tua 1.25 miliwn.
Yr un yw'r fantais; llai yw'r amrywiadau. Gall bet sy'n ennill unwaith ym mhob pump gario cyfran fwy o'r gronfa heb beryglu methdaliad, ac mae twf Kelly yn gwobrwyo hynny. Mae Thorp (1984) yn defnyddio'r enghraifft i ddangos pam roedd chwaraewyr rhagfynegi'n betio ar sectorauolwynSectorArc ddi-dor o bocedi ar yr olwyn, yn wahanol i grŵp ar y grid betio.Darllen y cyfan →. Yn ymarferol mae gan bum cymydogbetCymdogionRhif a'r ddwy boced ar bob ochr iddo ar yr olwyn, pum sglodyn ar rifau sengl.Darllen y cyfan → fantais ychydig yn is na'r un rhif gorau (gweler Chwarae mantais mewn rwlét).
Mae chwaraewr wedi dod o hyd i ddwy bocedofferPocedUn o'r 37 o adrannau wedi'u rhifo ar y rotor. Hefyd: slot, cwpan.Darllen y cyfan → gyfagos sydd ill dwy'n dod i fyny 1 waith mewn 25 yn hytrach nag 1 mewn 37. A ddylai fetio ar yr holltbetHolltDau rif cyfagos, yn talu 17:1.Darllen y cyfan → rhyngddynt ar 17 i 1, neu ar bob rhif ar wahân fel rhif sengl? Faint mae Kelly yn ei ddweud, a pha mor gyflym mae'r gronfa'n tyfu o'i chymharu ag un boced o'r fath?
Dangos y datrysiad
Ateb Does dim gwahaniaeth: 2.59% o'r gronfa ar yr hollt, neu 1.29% ar bob rhif. Mae'r gronfa nodweddiadol yn tyfu tua 155 gwaith mewn 1,000 o droelliadau, yn erbyn 11.5 gwaith gydag un boced.
Mae'r hollt yn ennill gyda thebygolrwyddmathemategTebygolrwyddSiawns canlyniad, o 0 i 1 neu o 0% i 100%. Un rhif: 1/37 = 2.70%.Darllen y cyfan → 2/25 = 0.08 ac yn talu 17 i 1, felly mae'n dychwelyd 18 × 0.08 = 1.44 am bob unedarianUnedY stanc sylfaenol y mae system neu chwaraewr yn gweithio ynddo. Disgrifir dilyniannau mewn unedau fel eu bod yn berthnasol wrth unrhyw fwrdd.Darllen y cyfan → a stanciwyd: mantais o 44%, yr un faint ag un boced â thuedd. Stanc Kelly yw'r fantais wedi'i rhannu â'r ods: 0.44/17 = 2.59%.
Mae dwy fet ar rif sengl o 1.29% yr un yn rhoi'r union un canlyniadau. Pan ddaw'r naill rif neu'r llall i fyny, mae un sglodynarianSglodynTocyn sy'n cynrychioli swm penodol, a osodir ar y grid betio i wneud bet. Hefyd: siec (check).Darllen y cyfan → yn ennill 35 i 1 a chollir y llall, net o 34 × 1.29% = 44% o'r gronfa, fel y mae'r hollt yn ei dalu; pan na ddaw'r un ohonynt, collir y ddau.
Y twf fesul troelliad yw 0.00505, yn erbyn 0.00244 ar gyfer un boced, felly dros 1,000 o droelliadau mae'r gronfa nodweddiadol yn tyfu e^5.046 ≈ 155 gwaith yn hytrach nag e^2.44 ≈ 11.5 gwaith. Mae dau rif da yn werth llawer mwy na dwywaith un, a dyna pam mae chwaraewyr tuedd yn betio ar grwpiau o rifau. Mae Thorp (1984) yn gwneud yr un gymhariaeth.
Ychydig o hwyl
Mae'r stanc rwlét sy'n rhoi'r twf gorau yn rhif y mae pawb yn ei wybod eisoes.
Ffynonellau
- Kelly, J. L. ‘A new interpretation of information rate.’
- Breiman, L. ‘Optimal gambling systems for favorable games.’
- Thorp, E. O. ‘Optimal gambling systems for favorable games.’
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2il arg.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2il arg.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. ‘Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.’