Problem: olwyn y penblwyddi
Faint o droelliadau cyn i ryw rif ailadrodd? Llawer llai nag y mae'r rhan fwyaf o bobl yn ei ddyfalu.
Problem y penblwyddi ar olwyn 37 pocedofferPocedUn o'r 37 o adrannau wedi'u rhifo ar y rotor. Hefyd: slot, cwpan.Darllen y cyfan →: ar ôl dim ond 8 o droelliadau mae'r tebygolrwydd yn fwy na hanner bod rhyw rif eisoes wedi ymddangos ddwywaith. Mae chwaraewyr yn darllen ailadroddiadau fel patrymau; dyna ymddygiad disgwyliedig olwyn deg.
Y broblem
Troellwch olwyn Ewropeaidd deg. Faint o droelliadau nes bod y tebygolrwyddmathemategTebygolrwyddSiawns canlyniad, o 0 i 1 neu o 0% i 100%. Un rhif: 1/37 = 2.70%.Darllen y cyfan → bod o leiaf dau droelliad wedi dangos yr un rhif yn fwy na hanner? Mae'r rhan fwyaf o chwaraewyr yn dyfalu rhywle tua 18 neu 19, hanner 37. Yr ateb yw 8.
Y datrysiad
Cyfrifwch y tebygolrwydd nad oes ailadrodd a'i dynnu o un. Ar ôl k o droelliadau, p(pob un yn wahanol) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Ar gyfer k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, felly p(rhyw ailadrodd) ≈ 0.56. Ar gyfer k = 14 mae'n 0.93; ar gyfer k = 20 mae'n 0.996. Mae greddf yn methu am fod nifer y parau o droelliadau yn tyfu fel k², a gall unrhyw bâr gyfateb.
Pam mae'n bwysig wrth y bwrdd
Bydd bwrdd canlyniadau sy'n dangos y 20 o rifau diwethaf bron bob amser yn dangos o leiaf un ailadrodd, yn aml dau neu dri. Mae chwaraewyr yn gweld ‘daeth 17 i fyny ddwywaith mewn deg troelliad’ ac yn dod i'r casgliad bod 17 yn boeth; mae rhifyddeg y penblwyddi'n dweud bod ailadrodd o fewn deg troelliad yn digwydd 74% o'r amser a bod y rhif sy'n ailadrodd ar hap. Mae'r patrwm yn real; nid felly'r ystyr.
Y broblem ddilynol
Faint o droelliadau nes bod rhif penodol, 17 dyweder, wedi ymddangos ddwywaith? Mae hwnnw'n gwestiwn gwahanol ag ateb llawer mwy: yr aros disgwyliedig yw 74 o droelliadau, a'r tebygolrwydd o gael dau 17 o fewn 20 o droelliadau yw tua 10%. Y gwahaniaeth rhwng ‘mae rhyw rif yn ailadrodd’ (8 o droelliadau) ac ‘mae'r rhif hwn yn ailadrodd’ (74 o droelliadau) yw'r holl wahaniaeth rhwng patrwm rydych chi'n sylwi arno wedyn a rhagfynegiad rydych chi'n ei wneud ymlaen llaw.
Rhowch gynnig arni
Rhedwch y Gêm ymarfer am ddeg troelliad ac edrychwch ar yr hanes. Fel arfer bydd ailadrodd. Rhedwch hi eto. Bydd y rhif sy'n ailadrodd yn wahanol. Gwnewch hyn ddeg gwaith ac rydych chi wedi gweld problem y penblwyddimathemategProblem y penblwyddiFaint o bobl sydd eu hangen cyn bod dau yn debygol o rannu pen-blwydd, neu faint o droelliadau cyn bod rhif yn debygol o ailadrodd. Ar olwyn 37 poced, mae 8 o droelliadau yn ddigon am siawns well na hanner.Darllen y cyfan →; gwnewch hynny fil o weithiau (gall yr efelychwyr wneud hynny) ac rydych chi wedi'i mesur.
Fformiwla
Cwestiynau
Yn union, gyda 37 o bocedi yn lle 365 o ddyddiau. Mae 23 o bobl yn rhoi 50% ar gyfer penblwyddi; mae 8 o droelliadau yn rhoi 56% ar gyfer yr olwyn.
50% ar ôl tua 19 o droelliadau. Yn dal yn beth cyffredin.
Nac ydy. Gallai miloedd o droelliadau o un olwyn wneud hynny; nid yw un ailadrodd byth yn gwneud.
Hwyl gyda mathemateg
Rhowch gynnig arnyn nhw eich hun yn gyntaf. Mae pob datrysiad wedi'i blygu; agorwch ef pan fyddwch yn barod.
Mae bwrdd canlyniadau wrth ymyl olwyn Americanaidd yn dangos yr 16 o droelliadau diwethaf. Pa mor debygol yw hi nad oes yr un rhif yn ymddangos ddwywaith arno?
Dangos y datrysiad
Ateb Tua 2.5%: mae tua 39 o fyrddau o bob 40 yn dangos o leiaf un rhif yn ailadrodd.
Ewch fesul troelliad. Gall y troelliad cyntaf fod yn unrhyw beth. Rhaid i'r ail ei fethu: 37 mewn 38. Rhaid i'r trydydd fethu'r ddau: 36 mewn 38. Rhaid i'r unfed ar bymtheg fethu pymtheg rhif: 23 mewn 38.
Lluoswch: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
Bwrdd heb ailadrodd yw'r un prin. Nid yw bwrdd ag ailadrodd yn dweud dim am yr olwyn.
Mewn deg troelliad ar olwyn Ewropeaidd, beth yw'r tebygolrwydd y daw 17 i fyny union bum gwaith? Y daw rhyw rif, unrhyw rif, i fyny bum gwaith neu fwy? Ac y daw rhyw rif i fyny o leiaf deirgwaith mewn pedwar troelliad?
Dangos y datrysiad
Ateb 17 union bum gwaith: 1 mewn 315,576. Rhyw rif bum gwaith neu fwy: tua 1 mewn 8,333. Rhyw rif deirgwaith neu fwy mewn pedwar troelliad: 1 mewn 349.
17 bum gwaith: dewiswch pa bump o'r deg troelliad, 252 o ffyrdd, pob un â thebygolrwydd (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Gyda'i gilydd, 1 mewn 315,576.
Rhyw rif: mae gan bob un o'r 37 o rifau debygolrwydd o 1 mewn 308,325 o bump neu fwy o drawiadau, sy'n rhoi 37 mewn 308,325, neu 1 mewn 8,333. Mae'r achos prin o ddau rif â phum trawiad yr un yn cael ei gyfrif ddwywaith, ond nid yw ei dynnu allan yn newid dim ar y manylder hwn.
Teirgwaith mewn pedwar troelliad: i un rhif, 4 × 36 + 1 = 145 o'r 37⁴ o ganlyniadau posibl; i unrhyw un o'r 37 o rifau, 145/37³ = 1 mewn 349.
Ar olwyn seroolwynSeroYr un boced werdd nad yw'r un fet ods cyfartal, dwsin na cholofn yn ei chwmpasu; ffynhonnell mantais y tŷ. Hefyd: sero sengl, 0.Darllen y cyfan → dwbl, y ffigurau cyfatebol yw 1 mewn 359,275, 1 mewn 9,243 ac 1 mewn 368. Y bwlch rhwng ‘17’ a ‘rhyw rif’ yw problem y penblwyddimathemategProblem y penblwyddiFaint o bobl sydd eu hangen cyn bod dau yn debygol o rannu pen-blwydd, neu faint o droelliadau cyn bod rhif yn debygol o ailadrodd. Ar olwyn 37 poced, mae 8 o droelliadau yn ddigon am siawns well na hanner.Darllen y cyfan → eto: mae 37 o ffyrdd o gael eich synnu.
Ychydig o hwyl
Mae rhywbeth yn ailadrodd yn gynnar. Mae'r rhywbeth hwnnw ar hap.
Ffynonellau
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. ‘Ask the Wizard’, cwestiynau am rwlét.