Problem: terfyn y bwrdd
Martingale $10 wrth fwrdd $500. Pa mor aml mae'n torri, faint mae'n ei golli pan fydd yn torri, ac a yw codi'r terfyn yn helpu?
Mae chwe cholled o'r bron yn torri'r dilyniant: 1.8% y cylch, tua 60% o sesiynau 100 troelliad. Mae'r toriad yn costio $630. Mae codi'r terfyn i $5,000 yn gwneud y toriad yn brinnach (0.25% y cylch) ac yn fwy ($5,110). Y golled ddisgwyliedig am bob doler a fetir yw 2.70% ar unrhyw derfyn.
Y broblem
Mae chwaraewr yn betio $10 ar gochbetCochBet ods cyfartal ar y 18 o rifau coch. Ffrangeg: rouge.Darllen y cyfan → ac yn dyblu ar ôl pob colled, gan ailddechrau ar ôl ennill. Uchafswm y bwrdd yw $500. (a) Sawl colled olynol sy'n torri'r dilyniantstrategaethDilyniantUnrhyw reol sy'n newid y stanc ar sail canlyniadau blaenorol. Mae dilyniannau negyddol yn ei godi ar ôl colli, a rhai positif ar ôl ennill.Darllen y cyfan →? (b) Beth yw'r tebygolrwyddmathemategTebygolrwyddSiawns canlyniad, o 0 i 1 neu o 0% i 100%. Un rhif: 1/37 = 2.70%.Darllen y cyfan → fesul cylch? (c) Beth a gollir wrth dorri? (d) Sut mae terfyn o $5,000 yn newid yr atebion? (e) A oes unrhyw derfyn yn gwneud y system yn broffidiol?
Atebion (a)–(c)
Stanciau: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Byddai'r seithfed yn 640 > 500, felly mae chwe cholled yn ei dorri. (b) p(colli) = 19/37 ar goch; (19/37)⁶ = 0.0183, tua 1.8% y cylch. Mae cylch yn para tua dau droelliad ar gyfartaledd, felly mae gan sesiwn 100 troelliad tua 50 o gylchoedd a p(o leiaf un toriad) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, sef 63 o unedauarianUnedY stanc sylfaenol y mae system neu chwaraewr yn gweithio ynddo. Disgrifir dilyniannau mewn unedau fel eu bod yn berthnasol wrth unrhyw fwrdd.Darllen y cyfan → sylfaenol, yn erbyn y $10 roedd y cylch yn ceisio'i ennill.
Ateb (d)
Ar $5,000: caniateir stanciau hyd at 2,560; gwrthodir y degfed stanc, 5,120. Mae naw colled yn ei dorri: (19/37)⁹ ≈ 0.25% y cylch, tua 11% o sesiynau 100 troelliad. Colled wrth dorri: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. Mae'r chwaraewr wedi prynu trychineb prinnach am bris un mwy. Dros lawer o sesiynau, cost ddisgwyliedig y toriadau yw p × colled ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 y cylch ar derfyn $500 a 0.0025 × 5,110 = $12.8 ar $5,000; mae'r ddau'n agos ond nid yn gyfartal, a phob un yw colled ddisgwyliedigmathemategColled ddisgwyliedigY gwerth disgwyliedig wedi'i luosi â chyfanswm y betio; y swm cyfartalog a gollir dros sesiwn neu gyfnod.Darllen y cyfan → y cylch ynghyd â'r $10 y mae'r cylchoedd buddugol yn ei ennill.
Ateb (e)
Nac oes. Colled ddisgwyliedig y cylch = (cyfanswm disgwyliedig y stanc yn y cylch) / 37, ar unrhyw derfyn, am fod pob bet yn −1/37 ohoni ei hun. Y cyfan y mae'r terfyn yn ei benderfynu yw sut mae'r golled wedi'i dosbarthu rhwng llawer o fuddugoliaethau bach ac ychydig o golledion mawr. Heb derfyn a chyda chronfa chwaraearianCronfa chwaraeY cyfanswm a neilltuwyd ar gyfer chwarae. Rheoli'r gronfa chwarae yw penderfynu faint ohoni i'w fentro ar bob bet ac ym mhob sesiwn.Darllen y cyfan → ddiderfyn byddai'r dilyniant yn ‘gweithio’, yn yr ystyr na fyddai byth yn torri, a byddai hefyd yn betio swm diderfyn gyda cholled ddisgwyliedig o 2.70% o'r swm diderfyn hwnnw. Nid terfyn y bwrddbwrddTerfyn y bwrddYr isafswm a'r uchafswm a ganiateir ar gyfer bet. Yr uchafswm sy'n atal dilyniannau dyblu.Darllen y cyfan → sy'n atal y MartingalestrategaethMartingaleDilyniant sy'n dyblu'r fet ar ôl pob colled. Gweler yr adran Strategaethau i weld beth mae'n ei wneud a beth nad yw'n ei wneud.Darllen y cyfan → rhag gweithio. Rhifyddeg sy'n gwneud hynny.
Dau fwrdd go iawn
Enghraifft Thorp yw bwrdd $1 ag uchafswm o $1,000, lle mae chwaraewr yn gobeithio ennill $30 am ginio, ddoler ar y tro. Mae'r stanciau 1, 2, 4 … 512 yn caniatáu deg bet, felly mae deg colled o'r bron yn torri'r dilyniant: unwaith mewn 785 o gylchoedd ar olwyn Ewropeaidd (unwaith mewn 613 ar un Americanaidd), am gost o $1,023. Mae tri deg o gylchoedd i gyd yn llwyddo 96.2% o'r amser. Mae'r 3.8% arall yn colli tua $1,000, a chanlyniad cyfartalog y noson yw −$9.17, sef yn union 1/37 o'r $339 y mae'r tri deg o gylchoedd yn ei stancio ar gyfartaledd. Nid yw bwrdd $5 ag uchafswm o $2,000 yn wahanol: mae stanciau hyd at $1,280 yn caniatáu naw bet, a daw'r toriad unwaith mewn 403 o gylchoedd ar olwyn Ewropeaidd (unwaith mewn 323 ar un Americanaidd) ac mae'n costio $2,555.
Chwaraewr cyfoethog
Rhowch gronfa ddofn i'r dilyniant yn lle terfyn isel: 1,000 o unedau, sylfaen o un uned a 1,000 o droelliadau ar goch, gan ailddechrau ar un uned pryd bynnag y mae'r dyblu nesaf yn fwy na'r hyn sydd ar ôl. Fe wnaethon ni efelychu miliwn o nosweithiau o'r fath. Ar olwyn Ewropeaidd mae 52% yn gorffen ar y blaen, mae 21% yn colli'r cyfan, a'r canlyniad cyfartalog yw −124 o unedau. Hyd yn oed mewn gêm heb seroolwynSeroYr un boced werdd nad yw'r un fet ods cyfartal, dwsin na cholofn yn ei chwmpasu; ffynhonnell mantais y tŷ. Hefyd: sero sengl, 0.Darllen y cyfan →, lle mae pob bet yn deg, dim ond tua 60% fyddai'n gorffen ar y blaen. Buddugoliaeth fach yw'r noson arferol; telir am y cyfartaledd gan y nosweithiau sy'n gorffen ar sero.
Y wers
Mae casinos yn gosod terfynau i gapio'r amrywiantmathemategAmrywiantMesur o ba mor eang y mae canlyniadau'n lledaenu o amgylch y gwerth disgwyliedig. Uchel ar gyfer rhif sengl, isel ar gyfer betiau ods cyfartal.Darllen y cyfan → y maen nhw eu hunain yn ei wynebu, nid i drechu systemau. Sgil-effaith y maen nhw'n falch ohoni yw trechu'r Martingale, a byddai'r rhifyddeg yn ei drechu beth bynnag. Mae chwaraewr sy'n meddwl mai'r terfyn yw'r broblem wedi dod o hyd i'r dibyn a'i gamgymryd am y llethr.
Fformiwla
Cwestiynau
Mae'n gadael i chi oroesi hyd at derfyn uwch, lle mae'r toriad yn brinnach ac yn fwy. Nid yw'r golled ddisgwyliedig am bob doler yn newid.
Stanciau 10, 30, 70, 150, 310: cyrhaeddir y terfyn $500 ar ôl pum colled, ac mae'r toriad yn costio $570. Yr un 2.70%.
Fel na all un chwaraewr fetio mwy nag y gall cronfa wrth gefn y casino ei thalu'n gyfforddus. Rheoli amrywiant.
Hwyl gyda mathemateg
Rhowch gynnig arnyn nhw eich hun yn gyntaf. Mae pob datrysiad wedi'i blygu; agorwch ef pan fyddwch yn barod.
Mae MartingalestrategaethMartingaleDilyniant sy'n dyblu'r fet ar ôl pob colled. Gweler yr adran Strategaethau i weld beth mae'n ei wneud a beth nad yw'n ei wneud.Darllen y cyfan → yn dechrau ar $100 ar gochbetCochBet ods cyfartal ar y 18 o rifau coch. Ffrangeg: rouge.Darllen y cyfan → ac yn caniatáu iddo'i hun n o fetiau ar y mwyaf bob cylch: ar ôl n o golledion o'r bron mae'n rhoi'r gorau iddi ac yn dechrau eto. Ysgrifennwch ganlyniad cyfartalog un cylch fel fformiwla yn n, a'i gyfrifo ar gyfer 5, 6 a 7 o fetiau ar olwyn Ewropeaidd.
Dangos y datrysiad
Ateb Y cyfartaledd yw 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 am 5 o fetiau, −$17.35 am 6 a −$20.52 am 7. Mae caniatáu mwy o fetiau'n gwneud y cylch cyfartalog yn waeth, nid yn well.
Mae cylch yn ennill $100 oni bai bod pob un o'r n o fetiau'n colli, sy'n digwydd gyda thebygolrwydd qⁿ, lle q = 19/37. Pan fyddant i gyd yn colli, mae'r stanciau 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ yn adio i 100 × (2ⁿ − 1). Felly'r cyfartaledd yw 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Yma 2q = 38/37, ychydig yn fwy nag 1, felly mae (2q)ⁿ yn tyfu gydag n ac mae'r cyfartaledd yn disgyn: mae n = 5 yn rhoi 1.1426 a −$14.26; n = 6 yn rhoi 1.1735 a −$17.35; n = 7 yn rhoi 1.2052 a −$20.52. Mae ysgol hirach yn colli'n llai aml, mewn 3.6%, 1.8% a 0.9% o'r cylchoedd, ond mae pob colled ddwywaith cymaint, ac mae mwy o arian yn croesi'r bwrdd bob cylch, ar 2.70% o bob bet.
Ar olwyn Americanaidd 2q = 40/38 a'r ffigurau yw −$29.24, −$36.04 a −$43.20 (Taylor, 2021). Mewn gêm heb seroolwynSeroYr un boced werdd nad yw'r un fet ods cyfartal, dwsin na cholofn yn ei chwmpasu; ffynhonnell mantais y tŷ. Hefyd: sero sengl, 0.Darllen y cyfan → 2q = 1, ac mae pob cylch yn rhoi union sero ar gyfartaledd, pa mor hir bynnag yw'r ysgol.
Mae'r ‘Martingale mawr’ yn dyblu'r stanc ar ôl colled ac yn ychwanegu un unedarianUnedY stanc sylfaenol y mae system neu chwaraewr yn gweithio ynddo. Disgrifir dilyniannau mewn unedau fel eu bod yn berthnasol wrth unrhyw fwrdd.Darllen y cyfan →, felly mae'r stanciau'n mynd 1, 3, 7, 15, 31 … Faint ydych chi ar y blaen pan ddaw'r fuddugoliaeth gyntaf ar fet rhif 1, 2, 3 neu k? Gydag uned o $10 ac uchafswm o $500, pa mor aml y mae cylch yn torri, a beth yw cost cylch ar gyfartaledd?
Dangos y datrysiad
Ateb Mae buddugoliaeth ar fet rhif k yn eich gadael k o unedau ar y blaen: +1, +2, +3 ac ati. Ar $10 a $500 mae'r cylch yn torri ar ôl pum colled, 3.57% o'r cylchoedd, am −$570. Ar gyfartaledd mae cylch yn colli $2.32 o $85.73 a stanciwyd: 2.70%.
Stanc rhif k yw 2ᵏ − 1 o unedau: 1, 3, 7, 15, 31. Mae'r k − 1 o stanciau cyntaf yn adio i 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Mae buddugoliaeth ar fet rhif k yn talu 2ᵏ − 1, felly mae'r cylch yn gorffen (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k o unedau ar y blaen: un uned ychwanegol am bob colled cyn y fuddugoliaeth.
Ar $10 yr uned y stanciau yw $10, $30, $70, $150 a $310; mae'r nesaf, $630, dros yr uchafswm o $500. Mae pum colled o'r bron, (19/37)⁵ = 3.57%, yn costio 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Cyfartaledd: mae'r buddugoliaethau'n dod â $10 × k i mewn gyda thebygolrwydd (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 ar gyfer k = 1 i 5, ac mae'r torri'n cymryd $570 gyda thebygolrwydd 3.57%; gyda'i gilydd −$2.32. Mae'r arian a stanciwyd yn $85.73 y cylch ar gyfartaledd, a 2.32/85.73 = 2.70%. Mae'r Martingale cyffredin wrth yr un bwrdd yn torri ar ôl chwe cholled, 1.83% o'r cylchoedd, am −$630, ac yn colli $1.74 o $64.20 a stanciwyd: 2.70% eto.
Mae chwaraewr yn bwriadu chwarae Martingale ar goch gyda bet gyntaf o $1 wrth fwrdd â therfyn o $1,000, felly mae deg bet yn bosibl: $1, $2, $4 ac ymlaen hyd at $512. Pa mor aml y mae cylch yn colli'r deg i gyd, faint o amser y mae hynny'n ei gymryd ar gyfartaledd, a pha mor aml y mae noson o 200 o fetiau'n gorffen felly?
Dangos y datrysiad
Ateb Mae cylch yn colli'r deg i gyd tua unwaith mewn 784, sy'n costio $1,023. Mae hynny'n cymryd tua 1,600 o fetiau ar gyfartaledd, ac mae noson o 200 o fetiau'n taro'r wal tua 11% o'r amser. Mae cylch yn dal i golli $0.31 ar gyfartaledd o $11.31 a stanciwyd: 2.70%.
Mae bet ar goch yn colli gyda thebygolrwydd 19/37, gan gynnwys y sero. Deg o'r bron: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, tua 1 mewn 784. Mae'r stanciau 1 + 2 + 4 + … + 512 yn adio i $1,023.
Mae cylch yn cymryd 2.05 o fetiau ar gyfartaledd, felly mae 784 o gylchoedd yn cymryd tua 1,600 o fetiau. O gyfrif troelliad wrth droelliad, mae rhediad o ddeg colled yn ymddangos rywle mewn 200 o fetiau 11.3% o'r amser.
Rhwng trychinebau mae'r chwaraewr yn ennill $1 y cylch: tua $783 cyn yr un drwg, yna −$1,023, tua −$240 dros yr holl gyfnod. Fesul cylch: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. Arian a stanciwyd fesul cylch: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. A −0.31/11.31 = −2.70%.
Cymharwch fet gyntaf o $10 wrth derfyn o $500, chwe bet: daw'r wal unwaith mewn 55 o gylchoedd, ac mae noson o 200 o fetiau'n ei tharo 84% o'r amser. Mae terfyn uwch yn gwneud y chwalfa'n brinnach ac yn fwy, nid yn rhatach.
Ychydig o hwyl
Prinnach a mwy, ar bob terfyn. Mae'r lluoswm yn gyson.
Ffynonellau
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. ‘Optimal gambling systems for favorable games.’
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2il arg.