Risg methdaliad

Q: Ydy dilyniant yn lleihau risg methdaliad?

Mae'r Martingale yn ei leihau ar gyfer sesiynau byr ac yn ei godi'n ddramatig ar gyfer rhai hir. Betio gwastad gydag uned fwy yw'r ffordd onest o'i leihau.

Y tebygolrwydd o golli eich cronfa chwarae gyfan cyn cyrraedd targed.

Ateb byr

Ar gyfer betiau ods cyfartal, mae risg methdaliad yn dilyn fformiwla methdaliad y gamblwr. Gyda chronfa chwarae o $500, betiau o $10 a tharged o $600, rydych chi'n cyrraedd y targed tua 57% o'r amser ac yn colli'r cyfan weddill yr amser.

fformiwla

methdaliad y gamblwr

p (ods cyfartal)

18/37

q/p

1.0556

y canlyniad hynaf

Pascal–Fermat, 1656

Y cwestiwn

Mae gennych gronfa chwaraearianCronfa chwaraeY cyfanswm a neilltuwyd ar gyfer chwarae. Rheoli'r gronfa chwarae yw penderfynu faint ohoni i'w fentro ar bob bet ac ym mhob sesiwn.Darllen y cyfan → o a unedarianUnedY stanc sylfaenol y mae system neu chwaraewr yn gweithio ynddo. Disgrifir dilyniannau mewn unedau fel eu bod yn berthnasol wrth unrhyw fwrdd.Darllen y cyfan → ac rydych chi am gyrraedd a + b uned, gan fetio un uned ar y tro ar fet ods cyfartalbetBet ods cyfartalCoch/du, odrif/eilrif, uchel/isel. 18 o rifau, yn talu 1:1.Darllen y cyfan → gyda thebygolrwyddmathemategTebygolrwyddSiawns canlyniad, o 0 i 1 neu o 0% i 100%. Un rhif: 1/37 = 2.70%.Darllen y cyfan → ennill p = 18/37 a thebygolrwydd colli q = 19/37. Beth yw'r tebygolrwydd y byddwch yn cyrraedd y targed cyn cyrraedd sero? Cafodd yr ateb ei weithio allan gan Pascal, Fermat a Huygens yn y 1650au, ac mae'n un o'r canlyniadau hynaf ym maes tebygolrwydd.

Blaise Pascal: chwedl yr olwyn rwlét

Fformiwla methdaliad y gamblwr

P(cyrraedd y targed) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Risg methdaliadmathemategRisg methdaliadY tebygolrwydd o golli'r gronfa chwarae gyfan cyn cyrraedd targed neu nifer penodol o droelliadau.Darllen y cyfan → yw un namyn hynny. Gyda q/p = 19/18 ≈ 1.0556, mae'r gymhareb yn tyfu'n esbonyddol gyda nifer yr unedau, felly mae'r fformiwla'n cosbi unedau bach yn llym: po fwyaf o fetiau sydd eu hangen i gyrraedd y targed, mwyaf o weithiau y telir y doll o 2.70% ar y ffordd.

cronfa chwaraeunedtargedbetiau i gyrraedd y targedp(cyrraedd y targed)risg methdaliad

$500$10$60010≈ 57%≈ 43%

$500$50$6002≈ 79%≈ 21%

$500$10$1,00050≈ 6%≈ 94%

$500$100$1,0005≈ 43%≈ 57%

$500$500$1,000148.6%51.4%

$100$10$20010≈ 37%≈ 63%

Betiau ods cyfartal, stanc gwastad, dim la partage. Mae'r Gyfrifiannell risg methdaliad yn gwneud y rhifyddeg ar gyfer unrhyw rifau.

Ei ddarllen

Mae unedau llai yn brifo. Mae ceisio dyblu $500 gyda betiau o $10 yn llwyddo 6% o'r amser; gydag un fet o $500 mae'n llwyddo 48.6% o'r amser. Mae chwarae beiddgar, llai o fetiau a rhai mwy, yn rhoi'r tebygolrwydd mwyaf o gyrraedd targed mewn gêm â disgwyliad negyddol, oherwydd ei fod yn lleihau nifer y troeon y mae'r fantais yn cael ei chymhwyso. Mae hefyd yn rhoi'r amrywiantmathemategAmrywiantMesur o ba mor eang y mae canlyniadau'n lledaenu o amgylch y gwerth disgwyliedig. Uchel ar gyfer rhif sengl, isel ar gyfer betiau ods cyfartal.Darllen y cyfan → mwyaf i'r hyn sy'n digwydd i chi, ac mae'n dod â'r noson i ben yn gyflym. Enw'r theorem yw ‘chwarae beiddgar sydd orau’, a chafodd ei brofi gan Dubins a Savage yn 1965.

Tebygolrwydd troi $500 yn $1,000 ar goch%

un fet o $500

48.6%

betiau o $100

≈ 43%

betiau o $50

≈ 37%

betiau o $20

≈ 21%

betiau o $10

≈ 6%

betiau o $5

≈ 0.5%

024.3048.6%

Po fwyaf o fetiau sydd eu hangen, amlaf y telir y fantais. Mae chwarae gochelgar yn ddrud.

Lle dechreuodd y broblem

Mae'r cwestiwn yn hŷn na rwlét. Yn 1656 gosododd Pascal bos i Fermat: mae dau chwaraewr yn taflu tri dis, a phob un yn dechrau gyda 12 o gownteri; mae tafliad o 11 yn symud cownter un ffordd, a thafliad o 14 y ffordd arall. Datrysodd y ddau hi, a chyhoeddodd Huygens, a glywodd amdani drwy lythyr gan y mathemategydd Pierre de Carcavi, hi yn 1657 fel pumed problem y llyfr cyntaf ar debygolrwydd, gyda'r ateb a heb brawf. Gellir taflu un ar ddeg mewn 27 o ffyrdd a phedwar ar ddeg mewn 15 yn unig, felly mae pob cownter yn symud o blaid y chwaraewr cyntaf 9 o weithiau mewn 14, ac mae'r fformiwla uchod, gyda 12 o gownteri'r un, yn ei wneud tua 1,157 gwaith yn fwy tebygol o ennill popeth nag o golli popeth. Mae mantais o 2.70% yn llawer llai, ond mae'r un fformiwla'n dangos beth mae'n ei wneud dros lawer o fetiau.

Ym mhos Pascal, mae pob tafliad o dri dis yn symud un cownter rhwng y chwaraewyr.

Bet feiddgar go iawn

Ym mis Ebrill 2004 gwerthodd Ashley Revell, Sais ifanc, bron popeth oedd ganddo, gan gynnwys ei ddillad, ac aeth â $135,300 i'r Plaza yn Las Vegas. Ar ôl ychydig o fetiau bach, rhoddodd y swm cyfan ar gochbetCochBet ods cyfartal ar y 18 o rifau coch. Ffrangeg: rouge.Darllen y cyfan →, unwaith. Glaniodd y bêlofferPêlY bêl fach a lansir ar hyd y trac yn groes i'r rotor. Mae peli modern o ivorine neu Teflon, 18–21 mm.Darllen y cyfan → ar 7 coch a cherddodd allan gyda $270,600. Ar olwyn seroolwynSeroYr un boced werdd nad yw'r un fet ods cyfartal, dwsin na cholofn yn ei chwmpasu; ffynhonnell mantais y tŷ. Hefyd: sero sengl, 0.Darllen y cyfan → dwbl, tebygolrwydd o 47.37% oedd gan yr un troelliad hwnnw, ac fe gostiodd $7,121 iddo ar gyfartaledd, sef mantais o 5.26% ar un fet. Wedi'i wasgaru dros fetiau o $10, byddai'r un targed bron yn anobeithiol. Nid yw chwarae beiddgar yn gwneud y fet yn dda; mae'n ei gwneud mor fyr â phosibl.

Mae cronfa chwarae gyfan Ashley Revell yn dibynnu ar un troelliad o olwyn dau sero.

Risg methdaliad heb darged

Os ydych chi'n syml yn chwarae nes colli'r cyfan neu'n stopio ar ôl N troelliad, mae'r cwestiwn yn troi'n ‘beth yw'r siawns y bydd fy nghronfa chwarae'n cyffwrdd â sero o fewn N troelliad?’. Does dim ffurf gaeedig ar gyfer N cyffredinol, ond mae'r efelychwyr ar y wefan hon yn ei gyfrifo: nid yw cronfa chwarae o $500 ar $10 ar goch bron byth yn mynd i'r wal mewn 100 o droelliadau (llai nag 1%), mae'n mynd i'r wal tua 9% o'r amser mewn 500 o droelliadau, a thua 95% o'r amser mewn 5,000. Heb reol stopio, mae'r tebygolrwydd yn tueddu at 100%, sef fersiwn y tymor hir o fantais y tŷmathemategMantais y tŷY gyfran o bob stanc y mae'r casino yn ei chadw ar gyfartaledd: 2.70% mewn rwlét Ewropeaidd.Darllen y cyfan →.

Deg sesiwn, cronfa chwarae o $500, $25 ar goch, 200 o droelliadaucanlyniad o'i gymharu â'r dechrau

1,000 o sesiynau × 500 o droelliadau · fioled p10/p25/p75/p90, glas golau canolrif, 81 o samplau gwan · symudwch dros y siart i weld cantelau ar droelliad

p10 −$500
p25 −$500
canolrif −$500
p75 +$0
p90 +$350

1,000 o sesiynau × 500 o droelliadau · echelin-y wedi'i thocio i'r 1af–99fed canradd (eithafion −$500 i +$1,500) · 500 o droelliadau · sylfaen $25 · ods cyfartal

Mae'r llinellau sy'n cyffwrdd â'r gwaelod wedi mynd i fethdaliad. Gydag uned lai bydden nhw'n para'n hirach ac yn gorffen yn yr un lle.

Cydgyfeirio yn y tymor hir: deddf niferoedd mawr mewn rwlét

Pa mor hir, a pha mor bell ar y blaen

Mae dau ganlyniad clasurol arall yn ateb cwestiynau y mae chwaraewyr yn eu gofyn mewn gwirionedd. Heb darged, mae betiau ods cyfartal gwastad yn para 37 o droelliadau ar gyfartaledd am bob uned o gronfa chwarae ar olwyn Ewropeaidd, a 19 ar olwyn Americanaidd, oherwydd bod pob troelliad yn cymryd 1/37 o uned ar gyfartaledd (1/19 ar olwyn Americanaidd): mae 100 o unedau'n para 3,700 o droelliadau ar gyfartaledd, er bod hanner sesiynau o'r fath ar ben o fewn 3,134 (gweler Hyd a chost sesiwn). A waeth pa mor fawr yw'r gronfa chwarae, y tebygolrwydd ar olwyn Ewropeaidd o fod k uned ar y blaen ar unrhyw adeg yw (18/19)ᵏ. Mae hynny'n 95% am un uned a 58% am ddeg, ond nid oes yr un gronfa chwarae, waeth pa mor ddwfn, yn rhoi siawns gyfartal o fod 13 o unedau ar y blaen fyth; ar olwyn Americanaidd y tebygolrwydd yw (9/10)ᵏ, ac mae'n disgyn o dan hanner ar 7 o unedau.

unedau ar y blaen, ar unrhyw adegEwropeaiddAmericanaidd

194.7%90.0%

576.3%59.0%

1058.2%34.9%

1349.5%25.4%

2033.9%12.2%

506.7%0.5%

1000.45%0.003%

Betiau ods cyfartal, stanc gwastad, cronfa chwarae ddigon mawr i beidio byth â dod i ben. Y tebygolrwydd yw (18/19)ᵏ ar olwyn un sero a (9/10)ᵏ ar olwyn dau sero.

Hyd a chost sesiwn Olwyn a rheolau rwlét Americanaidd

Cronfa chwarae ar gyfer siawns hanner a hanner

Trowch y cwestiwn o chwith: faint sy'n rhaid i chi ddod gyda chi i gael siawns hanner a hanner o leiaf o ennill swm penodol cyn colli popeth? Ar gyfer buddugoliaeth fach, dim llawer. Ar gyfer un fwy, mae'r gronfa chwarae sydd ei hangen yn dringo'n serth, a thu hwnt i bwynt nid oes yr un gronfa chwarae'n ddigon, oherwydd bod hyd yn oed un ddiddiwedd yn rhoi llai na siawns hanner a hanner o fod mor bell â hynny ar y blaen fyth. Mae Taylor (2021) yn ei roi mewn ffordd arall: ar olwyn Americanaidd, i gael siawns hanner a hanner o gyrraedd 100 o unedau, rhaid i chi ddechrau gyda 94, gan fentro 94 i ennill 6. Ar olwyn Ewropeaidd byddai angen 88 arnoch.

i ennillEwropeaiddAmericanaidd

1 uned22

2 uned33

3 o unedau45

4 o unedau68

5 o unedau712

6 o unedau921

7 o unedau12does dim cronfa chwarae'n ddigon

8 o unedau15does dim cronfa chwarae'n ddigon

10 o unedau24does dim cronfa chwarae'n ddigon

12 o unedau46does dim cronfa chwarae'n ddigon

13 o unedau neu fwydoes dim cronfa chwarae'n ddigondoes dim cronfa chwarae'n ddigon

Y gronfa chwarae leiaf, mewn unedau, sy'n rhoi siawns hanner a hanner o leiaf o ennill y swm cyn colli'r gronfa, gyda betiau ods cyfartal gwastad. Ein cyfrifiad ni o'r fformiwla uchod.

Y wers ymarferol

Penderfynwch beth rydych chi'n ceisio'i wneud. Os mai buddugoliaeth benodol yw'r nod, betiwch yn fawr ac yn anaml. Os mai noson hir yw'r nod, betiwch yn fach a derbyniwch y bydd y fantais yn cymryd ei 2.70% o drosiantarianTrosiantCyfanswm y betio dros sesiwn neu gyfnod, gan gyfrif enillion a ailfetiwyd. Hefyd: handle, action.Darllen y cyfan → mawr. Os mai'r ddau yw'r nod, mae'n rhaid i rywbeth ildio, a'r targed yw hwnnw fel arfer.

Fformiwla

P(targed) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)

risg methdaliad = 1 − P(targed)

q/p = 19/18 ar gyfer ods cyfartal

nifer cyfartalog y troelliadau tan fethdaliad, heb darged = 37 × unedau

P(k uned ar y blaen rywbryd) = (18/19)ᵏ

Cwestiynau

Ydy dilyniant yn lleihau risg methdaliad?

Mae'r MartingalestrategaethMartingaleDilyniant sy'n dyblu'r fet ar ôl pob colled. Gweler yr adran Strategaethau i weld beth mae'n ei wneud a beth nad yw'n ei wneud.Darllen y cyfan → yn ei leihau ar gyfer sesiynau byr ac yn ei godi'n ddramatig ar gyfer rhai hir. Betio gwastadstrategaethBetio gwastadBetio'r un swm bob troelliad. Y llinell sylfaen y cymherir pob dilyniant â hi.Darllen y cyfan → gydag uned fwy yw'r ffordd onest o'i leihau.

Beth am fetiau ar rif sengl?

Mae'r fformiwla uchod ar gyfer ods cyfartal. Ar gyfer betiau ag amrywiant uchel, mae methdaliad yn fwy tebygol ar stanciau bach ac mae'r targed yn cael ei gyrraedd mewn ffordd fwy herciog; defnyddiwch y gyfrifiannell.

Pam mai q/p yw'r maint allweddol?

Mae pob cam tuag at y targed ychydig yn llai tebygol na phob cam tuag at fethdaliad; mae'r gymhareb yn cronni dros nifer y camau.

Hwyl gyda mathemateg

Rhowch gynnig arnyn nhw eich hun yn gyntaf. Mae pob datrysiad wedi'i blygu; agorwch ef pan fyddwch yn barod.

Mae gennych chi $100 ac rydych chi eisiau $1,000, gan fetio ar gochbetCochBet ods cyfartal ar y 18 o rifau coch. Ffrangeg: rouge.Darllen y cyfan → yn unig. Cynllun un: betio $1 ar y tro. Cynllun dau: betio popeth sydd gennych nes i chi basio $500, yna dim ond digon i gyrraedd $1,000. Pa gynllun sydd orau, ac o faint?
Dangos y datrysiad
Ateb Cynllun dau, o bell ffordd. Mae'n cyrraedd $1,000 tua 9.0% o'r amser, yn agos at y 10% teg. Mae cynllun un yn llwyddo tua 7 o weithiau mewn 10²².
Mewn gêm degmathemategGêm degGêm lle nad oes gan y naill ochr na'r llall fantais: mae gwerth disgwyliedig pob bet yn sero.Darllen y cyfan → byddech chi'n cyrraedd $1,000 o $100 unwaith mewn deg beth bynnag a wnaech, am fod gwerth cyfartalog eich arian yn aros ar $100.
Mae'r fantais yn cymryd 2.70% o bob bet, felly po leiaf y byddwch chi'n ei fetio i gyd, agosaf y byddwch chi'n aros at un mewn deg. Mae cynllun dau yn setlo'r mater mewn llond llaw o fetiau: mae $100 yn troi'n $200, $400, $800, ac yna mae $200 yn ddigon. Mae'n llwyddo tua 9.0% o'r amser. Mae cynllun un yn cymryd miloedd o fetiau cyn i'r chwarae ddod i ben, ac mae'r fantais, sy'n fach ar bob un ohonynt, yn adio i fethdaliad sydd bron yn sicr.
Dyma ganlyniad Dubins–Savage yn ei ffurf symlaf (Epstein, 2013): mewn gêm sy'n ffafrio'r tŷ, betiwch gymaint ag sydd ei angen arnoch, cyn lleied o weithiau ag y gallwch.
Mae gennych chi $500 ac rydych chi eisiau $1,000, gan stopio cyn gynted ag y bydd gennych chi hynny. Rydych chi'n dewis un math o fet ac yn ei hailadrodd nes iddi ennill unwaith neu nes i'r arian ddod i ben. Pa fath sy'n rhoi'r siawns orau?
Dangos y datrysiad
Ateb Un bet $500 ar goch: 48.6%. Mae pob cynllun sy'n gwasgaru'r arian dros fetiau llai yn gwneud yn waeth.
Dewiswch bob stanc fel bod un fuddugoliaeth yn ddigon: mae $30 ar rif senglbetRhif senglUn rhif, yn talu 35:1.Darllen y cyfan → yn ennill $1,050, $60 ar holltbetHolltDau rif cyfagos, yn talu 17:1.Darllen y cyfan → yn ennill $1,020, ac ati. Yna cyfrifwch y tebygolrwydd y bydd o leiaf un bet yn ennill cyn i'r arian ddod i ben. Mae un deg chwech o fetiau $30 ar rif sengl i gyd yn methu gyda thebygolrwydd (36/37)¹⁶ = 64.5%, felly maen nhw'n cyrraedd $1,000 35.5% o'r amser.
Mae'r tabl yn dangos pob bet. Coch sy'n gwneud orau am ei fod yn cyrraedd yno mewn un bet, felly dim ond unwaith y telir y fantais, ar $500. Daw'r rhes ddwblbetRhes ddwblChwe rhif mewn dwy res gyfagos, yn talu 5:1. Ffrangeg: sixain.Darllen y cyfan → yn ail am mai dim ond tair bet sydd eu hangen arni. Y gwaethaf yw un bet ar ddwsin, siawns o 12/37; hyd yn oed o chwarae'r dwsinbetDwsin1–12, 13–24 neu 25–36, yn talu 2:1.Darllen y cyfan → mewn unedauarianUnedY stanc sylfaenol y mae system neu chwaraewr yn gweithio ynddo. Disgrifir dilyniannau mewn unedau fel eu bod yn berthnasol wrth unrhyw fwrdd.Darllen y cyfan → o $250 nes bod gennych $1,000 neu fwy, dim ond 46.4% o'r amser y mae'n cyrraedd yno.
Mae Bollman (2024) yn llunio'r un tabl ar gyfer olwyn Americanaidd. Mae llithriad yn ei linell ar gyfer y dwsin: dylai ddangos 12/38 = 31.6%.
betstanc × nifer y betiautebygolrwydd cyrraedd $1,000
Rhif sengl$30 × 1635.5%
Hollt$60 × 835.9%
Rhes$90 × 534.5%
Cornel$125 × 436.7%
Rhes ddwbl$166, $166, $16841.2%
Dwsin$500 × 132.4%
Coch$500 × 148.6%
Rydych chi'n betio un uned ar goch, troelliad ar ôl troelliad, gyda chronfa chwaraearianCronfa chwaraeY cyfanswm a neilltuwyd ar gyfer chwarae. Rheoli'r gronfa chwarae yw penderfynu faint ohoni i'w fentro ar bob bet ac ym mhob sesiwn.Darllen y cyfan → nad yw byth yn dod i ben. Ar ôl y troelliad cyntaf rydych chi un uned ar y blaen neu un uned ar ei hôl hi. Beth yw'r tebygolrwydd y byddwch chi'n union gyfartal eto ryw bryd?
Dangos y datrysiad
Ateb 36 mewn 37, 97.3%. Ar olwyn Americanaidd mae'n 36 mewn 38, 94.7%.
Os yw'r troelliad cyntaf yn ennill (18 o weithiau mewn 37), rydych chi un uned ar y blaen, ac mae'r fantais yn llusgo pob sesiwn ddiddiwedd i lawr, felly yn hwyr neu'n hwyrach byddwch chi'n pasio'n ôl drwy'r pwynt cyfartal: mae hynny'n sicr. Os yw'n colli (19 o weithiau mewn 37), rhaid i chi ddringo un uned, a'r tebygolrwydd o fod un uned ar y blaen ryw bryd yw 18/19 (gweler y tabl uchod).
Gyda'i gilydd: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Yn gyffredinol y tebygolrwydd yw 1 llai'r bwlch rhwng y tebygolrwydd o ennill troelliad a'r tebygolrwydd o'i golli: 1 − 1/37 ar olwyn Ewropeaidd, 1 − 2/38 ar un Americanaidd. Mewn gêm heb seroolwynSeroYr un boced werdd nad yw'r un fet ods cyfartal, dwsin na cholofn yn ei chwmpasu; ffynhonnell mantais y tŷ. Hefyd: sero sengl, 0.Darllen y cyfan → does dim bwlch a'r tebygolrwydd yw 1: mae'r sgôr bob amser yn dod yn ôl yn gyfartal. Mae Epstein (2013) yn rhoi'r rheol gyffredinol.
Pos Pascal o 1656: mae dau chwaraewr yn taflu tri dis, pob un yn dechrau gyda 12 o gownteri. Mae pob 11 yn symud cownter at y chwaraewr cyntaf, a phob 14 yn symud un at yr ail; nid yw tafliadau eraill yn cyfrif. Pa mor debygol yw hi y bydd y chwaraewr cyntaf yn ennill y 24 i gyd? Ac os ydych chi, yn lle hynny, yn betio 1 uned ar goch bob troelliad yn erbyn ffrind sy'n gweithredu fel y banc, 12 o unedau'r un, pa mor debygol ydych chi o ennill y 24 i gyd?
Dangos y datrysiad
Ateb Mae'r chwaraewr cyntaf yn ennill tua 1,157 o weithiau mewn 1,158. Dim ond tua 34% o'r amser yr ydych chi, ar goch, yn ennill y 24 o unedau i gyd.
Mae tri dis yn gwneud 11 mewn 27 o ffyrdd a 14 mewn 15 o ffyrdd, felly mae pob cownter sy'n symud yn mynd at y chwaraewr cyntaf 27 o weithiau mewn 42, sef 9 o weithiau mewn 14. Gyda phob ochr yn dechrau ar 12, y tebygolrwydd o gymryd popeth yw 1/(1 + r¹²), lle r yw'r gymhareb rhwng tebygolrwydd yr ochr arall a'ch un chi.
Ar gyfer y chwaraewr cyntaf r = 5/9, ac (5/9)¹² ≈ 0.00086, felly mae'r tebygolrwydd tua 0.99914: ods o 9¹² i 5¹², neu 282,429,536,481 i 244,140,625, tua 1,157 i 1. Argraffodd Huygens yr union rifau hynny yn 1657.
Ar goch, r = 19/18 oherwydd y sero, ac (19/18)¹² ≈ 1.913: eich tebygolrwydd chi yw 1/2.913 ≈ 34.3%. Byddai ceiniog yn rhoi 50%. Mae'r fantais o 2.70% ar bob bet yn adio, dros y betiau niferus sydd eu hangen, i fwlch o 16 o bwyntiau.

Ychydig o hwyl

$Chwarae beiddgar sydd orau. Mae hefyd ar ben yn gyflym.$

Chwarae beiddgar sydd orau. Mae hefyd ar ben yn gyflym.

Ffynonellau

Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley, 3ydd arg., 1968. Methdaliad y gamblwr, pennod XIV.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2il arg. Academic Press, 2013.
Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2il arg. CRC Press, 2021.
Carcavi, P. de. Llythyr at Huygens, 28 Medi 1656, am y broblem a osododd Pascal i Fermat. Œuvres complètes de Christiaan Huygens, cyf. 1, 1888, tt. 492–494.
Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae. 1657. Y driniaeth brintiedig gynharaf o'r disgwyliad.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. Pennod 13, rwlét.
Reuters. ‘Briton bets it all on roulette spin, and wins.’ Ebrill 2004.
Las Vegas Sun. ‘Man wagers life’s worth.’ 12 Ebrill 2004.

adolygwyd 2026-09-28model: Ewropeaidd, sero senglmethodoleg ↗ffynonellau ↗